Fungsi Kuadrat dan Grafiknya - Belajar Matematika Online

Pengertian fungsi kuadrat dan grafiknya

Fungsi kuadrat dan grafiknya adalah materi yang sudah mulai diajarkan di tingkat SMP, tetapi sebaiknya di review lagi ya..! Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berderajat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah :

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekivalen dengan bentuk umumnya, yaitu :

Dari bentuk (2) ini, nilai D = b²- 4ac disebut Diskriminan fungsi kuadrat, sehingga bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai berikut:

${\color{Red} y=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{D}{4a}}\, ;\, dengan\,\,\, a\neq 0\, ....\, (3)$

Dari bentuk (3), maka :

Rumus persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat adalah:

$x=-\frac{b}{2a}$
Rumus nilai ekstrem fungsi kuadrat, adalah:

$y=-\frac{D}{4a}$

Rumus titik ekstrem fungsi kuadrat, adalah:

$\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )$

Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, dengan sifat-sifat seperti diabawah ini:

Jika a > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan mempunyai nilai balik minimum
Jika a < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan mempunyai nilai balik maksimum
Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik
Jika D = 0, parabola memotong sumbu x hanya pada satu titik saja
Jika D < 0, parabola tidak memotong sumbu x.

Untuk lebih jelasnya tentang ilustrasi fungsi kuadrat dan grafiknya, perhatikan gambar dibawah ini:

Ada beberapa cara dalam menentukan titik puncak grafik fungsi kuadrat selain menggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrem, yaitu dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya adalah:

$\begin{matrix} y=a\left ( x-h \right )^{2}+k\\\ast \, Sumbu\, simetri,\, x=h \\\ast \, Nilai\, ekstrem\, fungsi\, adalah,\, y=k \end{matrix}$

Selanjutnya setiap contoh-contoh yang disajikan dalam postingan ini penulis menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna dalam mencari setiap titik puncak grafik fungsi kuadrat.

Dan teman-teman di asumsikan sudah menguasai cara melengkapkan kuadrat sempurna dengan baik sehingga lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya, tetapi jika belum dikuasai maka boleh menggunakan rumus-rumus yang telah diberikan diatas karena hasil akhirnyapun akan sama.

Contoh 1:

Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan,
$y=x^{2}-2x+3$
[Penyelesaian]

Contoh 2:

Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan,

[Penyelesaian]

Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya

Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0
Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0
Menentukan persamaan sumbu simetri, yaitu :
$x=-\frac{b}{2a}$
Menentukan nilai ekstrem , yaitu:
Menentukan titik ekstrem atau titik puncak, yaitu:
Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat.

Supaya lebih jelas tentang fungsi kuadrat dan grafiknya, coba teman-teman pelajari contoh-contoh dibawah ini.

Contoh 3:

Gambarlah grafik dari,
$y=x^{2}-2x-8$

[Penyelesaian]

Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan grafiknya , yang telah dikemukakan diatas yaitu:
⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 :
$\begin{matrix} x^{2}-2x-8=0\\ \left ( x-4 \right )\left ( x+2 \right )=0 \\ x=4\, atau\, x=-2 \\\therefore \, titik\, potong\, sumbu\, x\left ( 4,0 \right )dan\, \left ( -2,0 \right ) \end{matrix}$

⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 :

$\begin{matrix} y=x^{2}-2x-8=0^{2}-2\times 0-8=-8\\\therefore titik\, potong\, sumbu\, y,\left ( 0,-8 \right ) \end{matrix}$

⬄ Menentukan titik puncak :
$\begin{matrix} y=x^{2}-2x-8\\y=\left ( x-1 \right )^{2}-1-8 \\ y=\left ( x-1 \right )^{2}-9 \\\therefore titik\, puncak\, A\left ( 1,-9 \right ) \end{matrix}$

⬄ Sketsa grafik:

Contoh 4:

Soal fungsi kuadrat dan grafiknya, dengan D > 0 dan a <0, Gambarlah grafik fungsi kuadrat ,

$y=-x^{2}+2x+3$

[Penyelesaian]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,

⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
$y=-x^{2}+2x+3=-0^{2}+2\times 0+3=3 \\ \therefore \, titik\, potong\, sumbu\, y,B\left ( 0,3 \right )$

⬄ Menentukan titik puncak,
$\begin{matrix} y=-x^{2}+2x+3\Leftrightarrow y=-\left ( x^{2}-2x \right )+3\\\Leftrightarrow y=-\left \{ \left ( x-1 \right )^{2}-1 \right \} +3 \\\Leftrightarrow y=-\left ( x-1 \right )^{2} +4 \\\therefore titik\, puncak,\, A\left ( 1,4 \right ) \end{matrix}$
⬄ Sketsa grafik:

Contoh 5:

Pada contoh ini adalah fungsi kuadrat dan grafiknya, definit positif dengan a > 0 dan D < 0.

Gambarlah grafik fungsi kuadrat,
$y=x^{2}-2x+3$
[Penyelesaian]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,

⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
$\begin{matrix} y=x^{2}-2x+3=0^{2}-2\times 0+3=3\\ \therefore titik\, potong\, sumbu\, y,\, B\left ( 0,3 \right ) \end{matrix}$

⬄ Titik puncak grafik fungsi kuadrat,
Untuk menentukan titik puncak ubah terlebih dahulu persamaan kuadrat ke dalam bentuk:
$y=a\left ( x-h \right )^{2}+k$
dengan Cara melengkapkan kuadrat sempurna:

$\\y=x^2-2x+3 \\y=(x-1)^{2}-1+3 \\y=(x-1)^{2}+2 \\\\\therefore \,titik\,puncaknya\,\left ( 1,2 \right )$
⬄ Grafik Fungsi :

Contoh 6:

Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D = 0, dan a > 0.

Gambarlah grafik fungsi kuadrat,
$y=x^{2}-2x+1$

[Penyelesain]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
$\\y=x^2-2x++1 \\x^2-2x+1=0 \\(x-1)^{2}=0 \\x=1 \therefore \,titik\,pot\, dengan\, sb\,x\,(1,0)$

⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
$\begin{matrix} y=x^{2}-2x+1=0^{2}-2\times 0+1=1\\\therefore titik\, potong\, sumbu\, y,B\left ( 0,1 \right ) \end{matrix}$ ,

⬄ Titik puncak grafik,

⬄ Sketsa grafik :

Contoh 7

Contoh fungsi kuadrat dan grafiknya dengan D < 0, dan a < 0.

Gambarlah grafik fungsi kuadrat,
$y=-3x^{2}+6x-4$

[Penyelesaian]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,

⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

⬄ Titik puncak grafik,
$\begin{matrix} y=-3x^{2}+6x-4\Leftrightarrow y=-3\left ( x^{2}-2x \right )-4\\\Leftrightarrow y=-3\left \{ \left ( x-1 \right )^{2}-1 \right \}-4 \\\Leftrightarrow y=-3\left ( x-1 \right )^{2}-1 \\ \therefore titik\, puncaknya,\, A\left ( 1,-1 \right ) \end{matrix}$

⬄ Gambar grafik

Semoga bermanfaat, terimakasih sudah mengunjungi blog sederhana. Dan selamat berlatih menyelesaikan soal-soal fungsi kuadrat dan grafiknya.

materi yang masih berkaitan dengan materi ini Cara menentukan persamaan fungsi kuadrat

Terimakasih anda telah membaca artikel tentang Fungsi Kuadrat dan Grafiknya. Jika ingin menduplikasi artikel ini diharapkan anda untuk mencantumkan link https://soulmath4u.blogspot.com/2013/11/fungsi-kuadrat-dan-grafiknya.html?m=0. Terimakasih atas perhatiannya.

Belajar Matematika Online
Published: 2013-11-04T16:35:00-08:00
Title:Fungsi Kuadrat dan Grafiknya
Rating: 5 On 22 reviews

26 komentar

Balas

Unknown

February 12, 2014 at 7:46 AM

Makasih ya buat penjelasannya. Lumayan membantu masalah saya sewaktu mengerjakan soal matematika :), izain copas juga yah ;)

February 12, 2014 at 7:50 AM

Makasih ga buat penjelasannya. Lumayan membantu masalah saya sewaktu mengerjakan soal matematika :), izin copas juga yah ;)

Rully

February 12, 2014 at 7:56 AM

Sama-sama nazmi, ikut senang kalau bisa bermanfaat .

Febryza Enriany

February 27, 2014 at 10:52 PM

artikel mudah dimengerti, semoga lebih banyak lagi contoh2 soalnya ya :)

March 4, 2014 at 3:09 PM

Terima kasih, insyaallah nanti di tambah lagi contoh2 nya

March 20, 2014 at 12:55 AM

Hadapi ujian jadi mudah.Thanx

March 20, 2014 at 1:02 AM

Hadapi ujian jadi lebih mudah.
Thanx

sartika

March 24, 2014 at 7:04 PM

makasih dah buat pencarian rumus* q jadi gampang ,,,dan q harap bisa menambah lebih banyak lagi....

April 5, 2014 at 6:21 AM

saya masih bingung dengan titik puncak, mohon dipostingan lain tolong dijelasin lagi :D kalo mau

April 5, 2014 at 6:22 AM

April 5, 2014 at 6:40 AM

Sebenarnys mencari titik puncak sama dg mengubah fungsi kuadrat ke bentuk melengkapkan kuadrat sempurna

Anonymous

April 16, 2014 at 11:41 PM

mksih bget

lilin lilin kecil

April 23, 2014 at 6:32 PM

itu yang contoh kedua
Tentukan Persamaan sumbu simetri, nilai minimum, dan titik puncak persamaan,
apa itu penyelesaiannya tidak salah ya? hasil yang ada dengan soal awal tidak sama.
agar menjadi perbaikan. trims..

April 23, 2014 at 8:21 PM

Soalnya yg keliru harusnya nilai maksimum yg ditanya, terima kasih koreksinya ya

April 27, 2014 at 3:07 PM

maksih sob udah berbagi..lumayan ilmu baru..he..he...

June 1, 2014 at 1:07 AM

maaf, untuk contoh no 2 bukanya nilai k nya itu -4 bukan 4. makasih

June 3, 2014 at 4:43 PM

Contoh 2 sudah diperbaiki, terimakasih teman-teman. atas komen dan kritik untuk blog saya yg jelek ini.

September 7, 2014 at 12:46 AM

makasih membatu sekali!

Rezki Wulandari

December 19, 2014 at 4:12 PM

terima kasih. sangat membantu ^^

December 28, 2014 at 2:41 AM

contohnya banyak min
jaa... arigatou na

Smt Susmiati

February 1, 2015 at 8:36 AM

Materi yang sangat bermanfaat.
Terima kasih

February 4, 2015 at 5:24 AM

coba buka situs ini
http://labmat-iainmtr.blogspot.com/2014/12/menggambar-grafik-fungsi-menggunakan.html
semoga membantu

October 11, 2015 at 12:33 AM

Blognya sangat bermanfaat tapi,,, iklannya nutupin contoh soal dan tidak bisa dipindahkan T.T , tolong ya,, iklannya dipindah supaya tetap terlihat dan tidak mengganggu pembaca blog anda
Terimakasih