Home » Pertidaksamaan irasional » Pertidaksamaan irasional

Pertidaksamaan irasional

Diposkan oleh RULLY IRAWAN on Monday, November 25, 2013

Pengertian Pertidaksamaan irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang variabel atau peubahnya berada dalam tanda akar. Sebagai contoh misalnya √( x-1) - 3 √(x-1) + 2 > 0, untuk memperoleh himpunan penyelesaian tersebut dilakukan dengan cara mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan.

Teorema

dalam menyelesaikan dan mencari himpunan penyelesaian , simak teorema dibawah ini:

Contoh Soal Dan Penyelesaian

Tentukan himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt{4x-1}< \sqrt{5 + 2x}$

[Penyelesaian]

$\begin{matrix} \Leftrightarrow syarat:\, 4x-1\geq 0\\ x\geq \frac{1}{4}..........(1) \\\Leftrightarrow sayarat:\, 5+2x\geq \\x\geq \frac{-5}{2} ............(2) \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt{4x-1}< \sqrt{5+2x}\, ,\, kuadratkan\, kedua\, ruas\\\Leftrightarrow \left ( \sqrt{4x-1}\right )^{2}< \left ( \sqrt{5+2x} \right )^{2} \\\Leftrightarrow 4x\, -\, 1< 5\, +\, 2x \\\Leftrightarrow x\, <\, 3\, \, ........\, (3) \end{matrix}$

Dari (1),(2) dan (3) :

$\therefore \: Himpunan\, Penyelesaian\: =\left \{ x\, \epsilon \, R\, |\,\frac{1}{4}\leq x< 3 \right \}$

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaia dari ,
$\sqrt{6-2x}\geq \sqrt{3+2x}$

[Penyelesaian]

$\begin{matrix} \Leftrightarrow Syarat:\: 6-2x\geq 0\\x\: \leq \: 3 \\\Leftrightarrow Syarat: 3+2x\geq 0 \\x\: \geq\: \frac{-\: 3}{2} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow kuadratkan\: kedua\: ruas\, ,\, \sqrt{6-2x}\geq \sqrt{3+2x}\\ \Leftrightarrow \left ( \sqrt{6-2x} \right )^{2}\geq \left ( \sqrt{3+2x} \right )^{2} \\\Leftrightarrow \: 6\, -\, 2x\, \geq \, 3\, \dotplus \, 2x \\ \Leftrightarrow \: x\, \leq \, \frac{3}{4}\, .\, .\, .\, .\, .\, .\, .\, (3) \end{matrix}$

Dari (1)(2) dan (3):

$\therefore \: Himpunan\: Penyelesaian\: =\, \left \{x\, \epsilon\, R\, |\: \frac{-\, 3}{2}\: \leq \: x\: \leq \: \frac{3}{4} \right \}$

Contoh 3 :

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional,
$\sqrt{4-x}\, >\, 3$
[Penyelesaian]

$\begin{matrix} Syarat:\, 4\, -\, x\, \geq \, 0\, \Leftrightarrow \, x\, \leq \, 4\, .......\, (1)\\ \Leftrightarrow \, kuadratkan\: kedua\: ruas\: ,\, \left ( \sqrt{4-x} \right )^{2}\, > \, 3^{2} \\ \Leftrightarrow \, 4\, -\, x\, > \, 9 \\\Leftrightarrow \: x\, < \, -5 . . ...(2) \end{matrix}$
Dari (1) dan (2) :

$\therefore \, Himpunan Penyelesaian=\left \{ x\: \epsilon\, R|x< -5 \right \}$

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt[4]{x^{2}+6x}\, <\, 2$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \, syarat\: :\, x^{2}+6x\geq 0\\ x\left ( x+6 \right )\geq 0 \\x\leq -6\, x\geq 0\, ......(1)) \end{matrix}$
Dari (1) dan (2) :

$\therefore \, Himpunan\, Penyelesaian\, =\left \{ x\, \epsilon \, R\, |-8< x\leq -6\, atau\, 0\leq x< 2 \right \}$

Bagaimana jika menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional dengan fungsi nilai mutlak? Simak contoh dibawah ini :

Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional,
$\left | x \right |\leq -\sqrt{5x-4x^{2}}$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left | x \right |\leq -\sqrt{5x-4x^{2}}\\\Leftrightarrow \left | x \right |+\sqrt{5x-4x^{2}}\leq 0 \end{matrix}$

Pada pertidaksamaan ini hanya dipenuhi oleh :
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left | x \right |+\sqrt{5x-4x^{2}}=0\, ....(1)\\\Leftrightarrow x=0\: \: dan\: 5x-4x^2=0 \\\Leftrightarrow x=0\: atau\: x\: =\: \frac{5}{4} \\\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\: tidak\: memenuhi\: (1) \, ;\, x=0\, memenuhi \\\therefore Himpunan \: Penyelesaian \:= \left \{ 0 \right \} \end{matrix}$

Contoh 6
Tentukan Himpunan penyelesaian dari,
$\sqrt{1+x}\: \geq\: \sqrt[3]{1-x}$

[Penyelesaian]
$\begin{matrix} \Leftrightarrow\, syarat\: \: : 1+x\geq 0\\x\: \geq \: -1\, ....(1) \\\Leftrightarrow\: syarat\: :\, 1\: -\: x\geq 0 \\x\: \leq\: 1 \: ....(2) \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt{1+x}\geq \sqrt[3]{1-x}\\\Leftrightarrow \left [( 1+x \right )^{\frac{1}{2}}]^6 \geq \left [( 1-x \right )^{\frac{1}{3}}]^6 \\\Leftrightarrow \left ( 1+x \right )^{3}\geq \left ( 1-x \right )^{2} \\\Leftrightarrow x^3+2x^2+5x \: \geq\: 0\\\Leftrightarrow x\left ( x^2+2x+5 \right )\geq0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow x^2+2x+5=\left ( x+1 \right )^{2}+4> 0,\, benar\, \forall \, x\\\Leftrightarrow x\geq\: 0 \: .....(3) \end{matrix}$
Dari (1) ,(2)dan (3) :

$\small \therefore \: Himpunan\: Penyelesaian\: =\left \{ x\, \epsilon \, R|0\leq x\leq 1 \right \}$

Soal-soal diatas sering muncul pada soal-soal Ujian Nasional SMA, soal saringan Masuk perguruan tinggi negeri (SNMPTN). Oleh karena itu sangatlah penting menguasai materi pertidaksamaan irasional.

Terimakasih anda telah membaca artikel tentang Pertidaksamaan irasional. Jika ingin menduplikasi artikel ini diharapkan anda untuk mencantumkan link http://soulmath4u.blogspot.com/2013/11/pertidaksamaan-irasional.html. Terimakasih atas perhatiannya.