Teorema Sisa Contoh Soal dan Pembahasan

Teorema Sisa  Matematika Kelas 11 SMA

Teorema sisa merupakan materi lanjutan dari suku banyak yang sudah dibahas sebelumnya, yang membahas tentang pembagian suku banyak dengan metode horner dan metode bersusun, dan juga kesamaan suku banyak. 

Pada pembahasan kali ini adalah materi tentang teorema sisa.

Sisa pembagian suatu suku banyak dapat ditentukan dengan teorema sisa yaitu:

Jika suku banyak f(x) dibagi x - k , maka sisanya adalah f(k)

Pembagi berbentuk (x - b)

Contoh 1:

1).Tentukan sisa pada pembagian  f(x) = 2x³ + x² – 5x + 2  dibagi dengan x + 1

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan teorema sisa, maka sisanya adalah f(-1)

Dengan metode subtitusi:

Jadi, sisa pembagian S = 6

Dengan metode Horner:

Buat terlebih dahulu bagan atau skema seperti dibawah ini, 

Dari bagan diatas diperoleh hasil bagi:  2x²  – x  -  4  sisa = 6

Jelas dari dua metode ini teorema sisa metode horner lebih baik dari pada metode subtitusi karena dengan metode horner tidak hanya sisa yang didapat tetapi juga hasil bagi, sedangkan dengan metode subtitusi hanya diperoleh sisa pembagian saja.

Teorema sisa – Pembagi berbentuk (ax + b)

2). Jika f(x) = 3x³ -8x² + ax  -4 dibagi 3x-2  sisanya - 2, tentukanlah nilai a

[Penyelesaian]

Untuk soal ini lebih mudah dengan teorema sisa metode subtitusi,

3). Suku banyak  a⁶ + 6b⁶  dibagi dengan  a² + b²   tentukan sisanya.

[Penyelesaian]

Suku banyak ini dipandang suku banyak variabel dalam a dan b dipandang sebagai konstanta, maka:

Dengan mensubtitusi  a² = - b²  , maka

Jadi, sisanya adalah : 5b⁶

4). Jika f(x) dibagi x - 3 sisanya 3, sedangkan jika dibagi x + 4 sisanya -4

Tentukanlah sisanya jika f(x) dibagi (x - 3)( x + 4), dengan menggunakan teorema sisa.

[Penyelesaian]

Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya (ax + b), maka dengan menggunakan teorema sisa:

f(x) =(x - 3)( x + 4).H(x) + (ax + b)

f(3) = 3a + b = 3 …..(1)

f(-4) = -4a + b = - 4 ……(2)

Dari (2) - (1), a = 1 dan b = 0

Jadi, sisa = ax + b = x

Pembagian suku banyak Pembagi berbentuk kuadrat

Contoh 2 :

1). Jika f(x) dibagi x + 1, x + 2 dan x + 3 maka sisanya berturut-turut adalah 2, 3 dan 6. Tentukanlah sisanya jika f(x) dibagi  (x + 1)( x + 2) ( x + 3)

[penyelesaian]

Pembagi (x + 1)( x + 2) ( x + 3) berderajat tiga, maka sisanya maksimum berderajat 2. Misalkan sisanya  ax²  + bx  + c  dan hasil bagi H(x), maka

F(x) =(x + 1)( x + 2) ( x + 3). H(x) + ax²  + bx  + c

F(-1) = a-b+c = 2 ……(1)

F(-2) = 4a-2b+c = 3 ……(2)

F(-3) = 9a-3b+c= 6 ….(3)

Dari persamaan (2) - persamaan (1)  diperoleh:

3a - b = 1  …..(4)

Dari (3) - (2), diperoleh 5a - b = 3 …….(5)

Dari (5) - (4), diperoleh a = 1

subtitusikan a = 1 ke (4) di peroleh b = 2

subtitusikan  a = 1 dan b = 2 ke pers (1) di peroleh  c = 3

Jadi, sisa = ax²  + bx  + c = x² + 2x + 3

2). Dengan menggunakan teorema sisa tentukanlah sisa jika f(x) = x⁵  -4x³  + 3 dibagi dengan x² - 2x - 3

[Penyelesaian]

Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (ax + b) karena pembagi berderajat dua, maka diperoleh hubungan:

Faktor-faktor linier pembagi x = 3 dan x = - 1 , maka

Dengan eliminasi persamaan (1) - (2):

Diperoleh  a = 33 

Subtitusikan a = 33  ke persamaan (2) diperoleh b = 39 .

Jadi, Sisa = ax + b = 33x + 39

3). Jika x⁵  + ax³  + b dibagi dengan  x² - 1 sisanya adalah 2x+1

Tentukanlah nilai a dan b dengan teorema sisa.

[Penyelesaian]

Misalkan hasil baginya H(x) dan sisanya S = (2x + 1) karena pembagi berderajat dua, maka:

Dengan memfaktorkan diperoleh faktor-faktor linier pembagi x = 1 dan x = - 1 , maka

Dengan eliminasi persamaan (1) - persamaan (2):

diperoleh a = 1 dan b = 1

4). Tentukanlah nilai dari x⁴  - x²  + 6x -4  

jika diketahui  

[Penyelesaian]

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan teorema sisa,  karena metode subtitusi hampir mustahil dilakukan.

Ubah terlebih dahulu bentuk pembagi nya dengan manipulasi aljabar,

Ruas kiri dan ruas kanan di kali 2 ,

Kuadratkan kedua ruas,

Persamaan (1) adalah pembagi dari f(x) = x⁴  - x²  + 6x -4 dan sisanya misalkan ax + b, dicari terlebih dahulu sisanya dengan metode bersusun,

Diperoleh sisa = 4x - 3, sehingga diperoleh hubungan:

Subtitusikan    ke persamaan (3):

Semoga artikel tentang teorema sisa ini bermanfaat!

Artikel Terkait:

□ Suku Banyak

□ Teorema Faktor