Teorema Faktor

Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor

Teorema faktor adalah sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi dua arah (Sartono W, 2007). 

Teorema faktor adalah sebagai berikut:

(x - k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Bukti teorema faktor:

Misalkan (x - k ) merupakan faktor dari f(x), maka

f(x) = (x - k ) . H(x) …..(1)

H(x) merupakan hasil bagi, subtitusikan nilai x = k kepersamaan (1),

f(k) = (k - k ) . H(k) …..(1)

f(k) = 0

Jadi terbukti jika (x - k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.

Soal Teorema Faktor dan Pembahasannya

Agar lebih jelas tentang aplikasi teorema faktor perhatikan soal-soal dibawah ini!

1). Tentukan nilai m jika  x³ + mx² – 11x + 30  mempunyai faktor (x + 3)

 

[Penyelesaian]

Sesuai dengan teorema faktor, maka:

2). Jika salah satu akar dari x³ + ax² + 6x - 2 adalah 1. Tentukanlah nilai a dan akar yang lainnya.

[Penyelesaian]

Soal semacam ini dapat diselesaikan dengan teorema faktor,

Misalkan f(x) = x³ + ax² + 6x - 2  , maka,

Jadi , suku banyak semula menjadi:

Nilai x₂ dapat dihitung dengan menggunakan rumus abc dan bentuk pada (1) dapat ditentukan dengan metode horner yang sudah dibahas sebelumnya.

Jadi , nilai a = - 5 dan akar yang lain adalah 2± √2

3). Jika 3 dan - 2 adalah akar-akar dari 

Tentukanlah nilai a dan b.

[Penyelesaian]

Misalkan  f(x) = x⁴ + ax³ + ax² + 11x + b = 0 , maka menggunakan teorema faktor:

kemudian,

Dengan eliminasi persamaan  (1) + (2), maka diperoleh:

a = - 3, dan b = - 6

4). Dengan menggunakan teorema faktor tunjukkan bahwa (x + y) adalah faktor dari 

[Penyelesaian]

Hanya perlu dibuktikan bahwa f( - y) = 0, maka:

Karena f(-y)=0 jadi (x+y) adalah faktor dari 

Menentukan Faktor-faktor Suatu Suku Banyak

Setelah mengerti teorema faktor, barulah akan dipelajari bagaimana cara menentukan faktor-faktor dari suatu suku banyak. Adapun langkah-langkah atau algoritma nya adalah:

Langkah I

Tentukan terlebih dahulu (x - k) konstanta a₀  suku banyak  , maka nilai k yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari a₀.

Langkah II

Dengan mencoba-coba semua faktor bulat a₀ sampai diperoleh f(faktor bulat a₀) = 0

Langkah III

Jika sudah didapat sebuah faktor bulat a₀ misalkan k maka untuk menentukan faktor yang lain bagilah suku banyak f(x) dengan (x - k)

Seperti itulah langkah-langkah atau algoritma menentukan faktor-faktor suku banyak dengan teorema faktor. Agar lebih jelas perhatikan setiap contoh soal dibawah ini!

1).Tentukan faktor-faktor dari setiap suku banyak dibawah ini!

a.  f(x) = x³ + 3x² - 18x - 40

b. f(x) = 2x⁴ - 7x³ - 2x² + 13 x +6

[Penyelesaian]

 (a) f(x) = x³ + 3x² - 18x - 40 

Langkah I:

Nilai konstanta dari suku banyak diatas adalah - 40, maka semua faktor bulat dari - 40 adalah ±1, ±2, ±4, ±5, ±8 , ± 10, ±20, ±40

Langkah II:

Dengan mencoba-coba faktor-faktor bulat dari - 40 diperoleh  x = -2 sehingga f(-2) = 0, yaitu:

Langkah III:

Nilai f(x) = 0 sudah diperoleh yaitu x = -2 jadi f(x) akan habis dibagi     (x + 2), maka faktor-faktor yang lain dapat dicari dengan metode horner

Dari bagan diatas hasil baginya adalah  x² + x - 20 sehingga,

Jadi faktor-faktor linier dari f(x) = x³ + 3x² - 18x - 40 adalah (x+2)(x-4)(x+5).

(b) f(x) = 2x⁴ - 7x³ - 2x² + 13 x +6

seperti pada contoh a konstanta dari f(x) adalah 6, dan semua faktor bulat dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, ±6. Setelah mencoba-coba mensubtitusikan faktor-faktor tersebut pada f(x) diperoleh f(-1) = 0   maka faktor f(x) adalah (x +1 ) dan faktor yang lain dapat ditentukan dengan metode horner yaitu,

dari bagan tersebut hasil bagi nya 2x³  - 9x² + 7x + 6 ,  jadi:

Untuk bagian yang warna merah diperoleh juga dari cara horner, yang langkah-langkahnya tidak saya buat disini! coba buat sendiri ya, sebagai latihan!

2.Selesaikanlah persamaan  3x³  + 5x² -  4x – 4 = 0

 

[Penyelesaian]

Misalkan f(x) = 3x³  + 5x² -  4x – 4 = 0 dengan menggunakan teorema faktor dapat ditentukan faktor-faktor linier dari persamaan diatas. Faktor-faktor bulat dari konstanta -4 adalah ±1, ±2, ±4, setelah mencoba-coba faktor-faktor tersebut diperoleh  f(1) = 0, maka :

Hasil baginya adalah 3x²  + 8x + 4 , jadi:

Jadi setelah kita menguasai teorema faktor, maka memfaktorkan suku-suku banyak sangat mudah.

Materi Terkait :

□ SukuBanyak (Pembagian suku banyak, metode bersusun, metode horner)

□ Teoremasisa