Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan Sinus dan Cosinus pada Trigonometri

Aturan sinus dan cosinus sangat diperlukan dalam menghitung sisi segitiga atau sudut dalam segitiga yang belum diketahui. Setelah mempelajari rumus-rumus dan contoh soal nanti akan diketahui pentingnya aturan sinus dan cosinus.

Aturan Sinus Dalam Segitiga

Dalam setiap segitiga sembarang  ABC , dengan sisi AB = c, sisi AC = b dan AC = a maka akan selalu berlaku:

Rumus diatas menggunakan segitiga dibawah ini:

Pembuktian Aturan Sinus dan Cosinus

Pembuktian Aturan Sinus

Untuk membuktikan rumus aturan sinus diatas, Buat segitiga lancip ABC lihat gambar 1. Garis CR, BQ, dan AP adalah garis tinggi pada sisi c, sisi b dan sisi a.

Gambar 1

Lihat Δ ACR :

Lihat Δ BCR:
 

Dari persamaan (1) dan (2), didapat:

Lihat Δ BAP:
 

Lihat Δ CAP:
 

Dari persamaan (4) = (5), didapat:

Dari persamaan (3) = (6), didapat:

Persamaan yang diperoleh terakhir inilah yang disebut aturan sinus.

Contoh Soal dan Pembahasan  Aturan Sinus

1). Dengan menggunakan aturan sinus hitunglah c pada ΔABC Jika a = 10,∠ B  = 75° , dan ∠ C = 60°

[Penyelesaian]

Hitung, ∠ A = 180⁰ – 75⁰ – 60⁰ = 45⁰

Dengan menggunakan aturan sinus, maka:

2). Tentukanlah ∠ C  pada ΔABC jika b = √ 2 , c = 2  dan ∠ B = 30°

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan aturan sinus, maka:

Penggunaan aturan sinus

Kita harus mengerti penggunaan aturan sinus dan cosinus, kapan kedua rumus tersebut dipakai dalam menyelesaikan soal. Kemungkinan unsur-unsur yang diketahui adalah:

1. Sisi, sudut, sudut
2. Sudut, sisi, sudut
3. Sisi, sisi, sudut

Dengan memahami unsur-unsur yang mungkin diketahui akan mudah untuk menganalisa aturan mana yang dipakai dari aturan sinus dan kosinus.

Aturan Cosinus

Pada setiap segitiga ABC selalu berlaku aturan cosinus yaitu:

Jika pada segitiga ABC jika ketiga sisinya telah diketahui, maka besar masing-masing ketiga sudutnya dapat dihitung menggunakan rumus-rumus dibawah ini:

Pembuktian aturan cosinus

Perhatikan ΔABC dibawah ini, garis tinggi CD = h pada sisi c. 

Lihat ΔBCD , dengan teorema phytagoras diperoleh:

Lihat ΔACD:

Sehingga,

Subtitusikan  AD = b cosA , dan BD = c – b cosA  ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut aturan cosinus atau dalil cosinus.

Contoh soal Dan pembahasan aturan Cosinus

1). Tentukan nilai a pada ΔABC  jika diketahui b = 2, c = 3 dan ∠A = 60°   

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan aturan cosinus,
,

2). Pada ΔABC  diketahui panjang sisi a = 3 cm , panjang sisi b = 5 cm dan c = 7 cm. Tentukan besar ∠C

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan aturan cosinus sudut maka,

Dengan mengerjakan dan berlatih contoh-contoh diatas tentu kita akan semakin mahir kapan aturan sinus dan cosinus digunakan.

Aturan sinus dan cosinus – Luas Segitiga

Luas ΔABC  baik itu segitiga lancip maupun segitiga tumpul dapat ditentukan dengan rumus luas segitiga .Perhatikan gambar segitiga lancip dan segitiga tumpul dibawah ini:

Maka luas segitiga (a) dan (b) pada gambar diatas dapat ditentukan dengan rumus luas segitiga, yaitu:

Contoh Soal Dan Pembahasan Luas Segitiga

1). Dalam ΔABC , Panjang sisi a = 4 cm , panjang sisi b = 6 cm dan besar ∠C = 30° Hitunglah luas ΔABC.

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus luas segitiga  maka,

2). Jajargenjang ABCD , panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm dan ∠BAD = 60° .Hitunglah Luas jajargenjang ABCD  

[Penyelesaian]

Hitung Luas ΔBAD terlebih dahulu dengan rumus luas segitiga,

Karena   ΔBAD kongruen dengan ΔCDB maka luas jajar genjang ABCD:

:

Luas segitiga Jika ketiga sisinya Diketahui

Jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga dengan panjang sisi masing-masing a, b, dan c maka luasnya adalah:

Dengan  S = ½ ´ keliling segitiga ABC atau

Contoh soal:

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, panjang sisi b = 8 cm dan c = 9 cm. Tentukan luas segitiga tersebut!

[Penyelesaian]

Tentukan dahulu s :

Maka Luas segitiga ABC adalah:

Demikian, semoga bermanfaat dan semoga artikel ini dapat menjadi referensi dalam belajar atau pun mengajar tentang materi aturan sinus dan cosinus.

Artikel Terkait:

□ Rumus-rumusTrigonometri

□ LimitFungsi Trigonometri

□ TurunanFungsi Trigonometri

□ Integraltrigonometri