Barisan dan Deret

Barisan dan Deret Aritmetika dan Geometri

Barisan dan Deret aritmatika  sma

Barisan dan deret aritmatika SMA maupun SMK merupakan materi lanjutan dari barisan dan deret matematika SMP, paling tidak materi tersebut sedikit banyak sudah kalian pelajari.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika yaitu suatu barisan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan (beda) selalu tetap.Bentuk umumnya adalah:

a, (a + b), (a + 2b), …, {a + (n - 1) b}

Keterangan:

a = U1 = suku pertama

b = beda = 

Un = suku ke-n

n = banyaknya suku

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah:( rumus-suku-ke-n-barisan- aritmatika)

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Aritmatika

1.Tentukanlah suku pertama, beda, dan suku ke-10 dari barisan aritmatika 8 , 4 , 0, - 4, - 8, …

[Penyelesaian]

a  = 8 ; b = - 4 dan

2. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang suku ke-7 nya adalah 11 dan suku ke-20 nya adalah - 41.

[Penyelesaian]

Dari (2) - (1) , diperoleh a = 35 dan d = - 4

3.Tentukanlah lima bilangan yang apabila disisipkan diantara 7 dan 25 akan menjadi barisan aritmatika

[Penyelesaian]

Karena a = 7 dan 

Subtitusikan a = 7 ke (1), diperoleh b = 3, maka kelima bilangan tersebut adalah 7, 10, 13 , 16, 19,  22

4.Suatu segitiga siku-siku ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika, tentukanlah perbandingan ketiga sisi segitiga tersebut.

[Penyelesaian]

Misalkan beda ketiga sisi segitiga tersebut adalah b  maka barisan tersebut adalah  a - b, a dan a + b.

Karena ketiga sisinya membentuk tripel phytagoras maka:

karena a = 4b maka sisi-sisi ketiga segitiga tersebut adalah 3b, 4b dan 5b, maka perbandingan ketiga sisinya adalah:

3b : 4b : 5b = 3 : 4 : 5

Suku tengah barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika memiliki suku ganjil maka suku tengahnya adalah:

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika diantara dua buah suku berurutan pada barisan aritmatika disisipkan k buah suku, maka akan didapat barisan aritmatika baru dengan hubungan sebagai berikut:

Barisan aritmatika lama : a, (a + b)

Barisan aritmatika baru : a, (a + b’), (a + 2b’), . . ., (a + b)

k adalah suku baru yang disisipkan , maka hubungan barisan aritmatika yang lama dengan yang baru adalah:

Keterangan:           

b’ = beda barisan aritmatika baru

b = beda barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

n = banyak suku barisan aritmatika lama

n’ = banyak barisan aritmatika baru

Yang perlu diingat dalam sisipan yaitu: a = a’ , Un = Un  dan Ut = Ut

Contoh Soal:

Diketahui barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14 Diantara setiap dua suku di sisipkan 5 buah suku baru .Tentukanlah beda, banyak suku dan suku ke- 20 dari barisan aritmatika yang baru!

[Penyelesaian]

b = 3 ; dan 

k = 5 dan n’ = n + (n -1)k = 5 + (5 - 1).5 = 25

dan suku ke-20 adalah:  

Deret Aritmatika (Deret Hitung)

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika, rumus jumlah parsial dari n suku barisaannya adalah:

Keterangan:

Sn = Jumlah n suku pertama

n = banyak suku

Un = Suku ke-n

b = beda

Hubungan antara Sn, S_(n-1), dan Un adalah:

, dengan

Un = suku ke-n

Sn= Jumlah n suku pertama

 = Jumlah (n - 1) suku pertama

Contoh Soal:

Diketahui deret aritmatika   .Tentukan 

[Penyelesaian]

Maka rumus U_n adalah :

Jadi U₁₀ yaitu:

Hubungan antara Suku tengah (Ut) dan Sn

Jika banyaknya suku barisan aritmatika ganjil adalah n, a suku pertama dan Un suku terakhir maka hubungan antara suku tengah dan jumlah deret aritmatika Sn adalah:

Barisan dan Deret  Aritmatika Contoh Soal dan Pembahasan

1.Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un dan jumlah n suku pertama adalah Sn. Jika  dan   Tentukanlah .

[Penyelesaian]

Soal ini saya ambil dari soal  SNMPTN UNPAR Bandung, tentang barisan dan deret aritmatika.

a= - 5b  karena a = 20 , maka b = - 4, jadi

2.Diketahui barisan aritmatika 2, 9, 16, 23, …. Tentukan jumlah semua suku yang nilainya kurang dari 100.

[Penyelesaian]

Tentukan dahulu rumus suku ke-n:

Karena jumlah semua suku yang ditanya kurang dari 100, maka

Jadi jumalah suku yang nilainya kurang dari 100 adalah:

3.Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah  tentukanlah rumus suku ke-n barisan ini!

[Penyelesaian]

Cara cepat mencari  :

  adalah turunan fungsi , maka:

Soal tantangan tentang Barisan Aritmatika dan Geometri

Ini ada soal tantangan, mungkin tantangan atau bagi yang lain ini soal mudah tergantung deh..he.he! Tapi sebelumnya saya mau share rumus rata-rata aritmatika  dan rumus rata-rata geometri sekalian deh sama rumus rata-rata harmonis dari tiga bilangan sesuai urutan a , x dan b.

1. Rumus rata- rata aritmatika tiga bilangan sesuai urutan a, x , b

2. Rumus rata- rata geometri tiga bilangan sesuai urutan a, x ,b 


3. Rumus rata- rata harmonis tiga bilangan sesuai urutan a, x , b



Rumusnya udah kan.., sekarang langsung ke contoh soalnya aja!

Tiga buah bilangan sesuai dengan urutan 8, a dan b membentuk barisan aritmatika sedangkan a,b dan 36 sesuai urutannya membentuk barisan geometri.Tentukanlah nila a dan b
[Penyelesaian]
karena a adalah rata-rata aritmatika dari 8 dan b, maka:

karena b adalah rata-rata geometri dari a dan 36, maka:
  ....(2)
Subtitusikan (1) ke (2), langsung aja ya dapetnya segini:

Demikian pembahasan materi barisan dan deret aritmatika, saya akan update terus soal-soal dalam postingan ini. Kritik dan saran sampaikan pada kolom komentar, semoga bermanfaat!

Halaman selanjutnya : Barisan dan deret geometri