Invers Matriks - Belajar Matematika Online

Rumus Invers Matriks Matematika SMA dan SMK

Invers matriks persegi atau bujur sangkar baik yang berordo 2x2, 3x3 , maupun ordo nxn akan menjadi topik pembahasan kali ini. Sebelum mempelajari invers matriks, terlebih dahulu akan dibahas tentang determinan matriks.

Determinan Matriks Ordo 2x2

Jika $A=\left ( \begin{matrix} a &b \\ c & d \end{matrix} \right )$ suatu matriks persegi yang berordo 2x2, maka determinan matriks A ditulis |A| atau det A adalah:

$\left | A \right |=ad-bc$

Contoh mencari determinan matriks ordo 2x2

Diketahui matriks-matriks dibawah ini:

Tentukan | A | dan | B |

[Penyelesaian]

Determinan matriks A dan B adalah,

Syarat dua Matriks Saling Invers

Diketahui A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB = BA = I , maka B adalah invers dari A ditulis B = $A^{-1}$ dan A adalah invers dari B ditulis A = $B^{-1}$ . Maka,

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/invers-matriks.html

Contoh dua matriks saling invers:

Diketahui matriks-matriks dibawah ini,

Tunjukkan bahwa AB = BA = I

[Penyelesaian]

Hasil kali matriks AB adalah,

Hasil kali matriks BA adalah,

Matriks Singular dan Matriks Non Singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, dan matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak nol

Contoh matriks singular

Diketahui matriks dibawah ini,

Buktikan bahwa A adalah matriks singular!

[Penyelesaian]

Determinan matriks A adalah,

Rumus invers matriks 2x2

Jika $A=\left ( \begin{matrix} a &b \\ c & d \end{matrix} \right )$ , maka $A^{-1}$ adalah,

Dari rumus invers matriks diatas dapat disimpulkan bahwa:

a.Suatu matriks persegi atau bujur sangkar tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut singular.

b. Suatu matriks persegi atau bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut non singular.

Invers Matriks 2x2 Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan invers matriks dibawah ini!

1. $A=\left ( \begin{matrix} 3 & 4\\1 &2 \end{matrix} \right )$

[Penyelesaian]

$\\A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\left ( \begin{matrix} d & -b\\ -c &a \end{matrix} \right ) \\\\=\frac{1}{3.2-4.1}\left ( \begin{matrix} 2 &-4 \\-1 &3 \end{matrix} \right )$
$\\=\frac{1}{2}\left ( \begin{matrix} 2 &-4 \\-1 &3 \end{matrix} \right ) \\\\=\mathbf{\left ( \begin{matrix} 1 &-2 \\ -\frac{1}{2} &\frac{3}{2} \end{matrix} \right )}$

2. $B=\left ( \begin{matrix} 5 &-8 \\4 &-6 \end{matrix} \right )$

[Penyelesaian]

$\\B^{-1}=\frac{1}{5.(-6)-(-8).4}\left ( \begin{matrix} -6 &8 \\-4 & 5 \end{matrix} \right )=\frac{1}{-30+32}\left ( \begin{matrix} -6 &8 \\-4 & 5 \end{matrix} \right ) \\\\\\B^{-1}=\frac{1}{2}\left ( \begin{matrix} -6 &8 \\-4 & 5 \end{matrix} \right ) =\left ( \begin{matrix} -3 &4 \\ -2 & \frac{5}{2} \end{matrix} \right )$

3. $P=\left ( \begin{matrix} 2 &6 \\ -1 &-3 \end{matrix} \right )$

[Penyelesaian]

$\\\left | P \right |=2.(-3)-6.(-1) \\\\\left | P \right |=-6+6=0$

Determinan P = 0 jadi invers P tidak ada.

4. $A=\left ( \begin{matrix} 2 &4 \\3 &7 \end{matrix} \right )\, \, dan\, \, B=\left ( \begin{matrix} 4 & 10\\ 5 &3 \end{matrix} \right )$ Tentukan Matriks C jika AC = B

[Penyelesaian]

Kalikan kedua ruas dengan $A^{-1}$ dari kiri,
$\\\Leftrightarrow A^{-1}.AC=A^{-1}.B \\\\\Leftrightarrow C=A^{-1}.B\, .....(1)$
Dari (1),
$\\C=\frac{1}{2}\left ( \begin{matrix} 7 &-4 \\ -3 &2 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} 4 & 10\\ 5 &3 \end{matrix} \right ) \\\\C=\frac{1}{2}\left ( \begin{matrix} 8 & 58\\-2 & -24 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 4 & 29\\-1 & -12 \end{matrix} \right )$

5.Diketahui dua buah matriks, $P=\left ( \begin{matrix} 4 & -1\\6 & -2 \end{matrix} \right )\, \, dan\, \, Q=\left ( \begin{matrix} a & x\\ b & c \end{matrix} \right )$ Jika invers P sama dengan transpose Q tentukan x.

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow P^{-1}=Q^{t} \\\\\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\left ( \begin{matrix} -2 &1 \\ -6 & 4 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} a &b \\ x &c \end{matrix} \right ) \\\\\Leftrightarrow \left ( \begin{matrix} 1 &-\frac{1}{2} \\3 & -2 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} a &b \\ x &c \end{matrix} \right )$
Berdasarkan elemen yang seletak maka x = 3

Dari contoh-contoh diatas dapat disimpulkan bahwa invers matriks tidak selalu ada, bergantung pada determinannya.

Invers Matriks 3x3

Cara menentukan invers matriks selain ordo 2x2 dapat menggunakan adjoint matriks. Jadi sebelum mempelajari cara mencari invers matriks ordo 3x3, terlebih dahulu harus dipelajari tentang minor, kofaktor, dan adjoint.

1.Minor

Jika pada matriks A ordo 3x3 elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan maka akan didapat matriks yang baru dengan ordo 2x2, determinan matriks baru dengan ordo 2x2 itulah yang disebut minor ditulis dengan simbol $\left | M_{ij} \right |$ . Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini,

Jika diketahui matriks A ordo 3x3 ,

Maka minor-minor dari matriks A adalah , $\left | M_{11} \right |$

, hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemen-elemen di dalam kotak merah dibawah ini

Sehingga mminor dari $\left | M_{11} \right |$ adalah :

$\left | M_{12} \right |$ , hilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2 matriks A diatas maka :

$\left | M_{32} \right |$ , hilangkan baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks A diatas maka:

⋮

Dst

Jadi, minor dari matriks A adalah:

2.Kofaktor

Kofaktor dituliskan dengan simbol $A_{ij}$ dibaca kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j dan rumus nya adalah :

Jika diketahui matriks A,

Dari rumus kofaktor diatas maka kofaktor-kofaktor dari matriks A diatas adalah:

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah,

Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini!

Contoh 1

Diketahui matriks A yaitu,

Tentukan minor dan kofaktor dari matriks A

[Penyelesaian]

a.Minor-minor dari matriks A adalah,

Minor-minor dari matriks A lainnya adalah ,

Jadi, matriks minornya adalah:

b.Kofaktor-kofaktor matriks A adalah:

Jadi, matriks kofaktornya adalah:

3.Adjoint

Adjoint suatu matriks diperoleh dari transpose matriks kofaktornya. Pemahaman anda tentang adjoint, minor, determinan dan kofaktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks ordo 3x3

4.Determinan Matriks ordo 3x3

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus. Perhatikan contoh dibawah ini,

Jika matriks B diketahui seperti dibawah ini,

Maka determinan matriks B dapat ditentukan dengan metode sarrus yaitu:

Contoh soal :

Tentukan determinan matriks dibawah ini,

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan metode sarrus, maka determinan matriks B adalah

Rumus invers matriks ordo 3x3

Rumus invers matriks ordo 3x3 adalah:

Contoh 2

Tentukan invers matriks A dibawah ini,

[Penyelesaian]

Dari contoh 1 kofaktor matriks A adalah :

Maka Adjoint matriks A adalah transpose kofaktor matriks A, yaitu :

Dan determinan matriks A adalah:

Jadi invers matriks A adalah:

Seperti itulah contoh cara menentukan invers matriks baik baik invers matriks ordo 2x2, maupun ordo 3x3, selamat berlatih semoga bermanfaat.

Materi terkait:

□ Matriks (Pengertian matriks, jenis-jenis matriks, transpose matriks, kesamaan dua matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks)

□ Perkalian Matriks

Terimakasih anda telah membaca artikel tentang Invers Matriks . Jika ingin menduplikasi artikel ini diharapkan anda untuk mencantumkan link http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/invers-matriks.html. Terimakasih atas perhatiannya.