Fungsi Komposisi dan Invers - Belajar Matematika Online

Fungsi Komposisi dan Invers : Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dan invers – Jika terdapat dua buah fungsi misalkan f (x) dan g (x) maka dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan prinsip operasi komposisi. Operasi komposisi ditulis dengan notasi atau lambang ○ ( dibaca : komposisi atau bundaran). Fungsi baru yang diperoleh dibentuk dari operasi komposisi fungsi, yaitu:

(i) ( f ○ g ) ( x ), dibaca : f komposisi g x atau f g x

(ii) ( g ○ f ) ( x ), dibaca : g komposisi f x atau g f x.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diagram panah fungsi komposisi dan invers

Dari gambar diatas fungsi g : A ⟶ B. Tiap x ℰ A dipetakan ke y ℰ B, sehingga g : x ⟶ y ditentukan dengan rumus: y = g ( x ) .

Fungsi f : B ⟶ C. Tiap y ℰ B dipetakan ke z ℰ C, sehingga f : y ⟶ z

ditulis dengan rumus z = f ( y ) .

Fungsi h : A ⟶ C. Tiap x ℰ A dipetakan ke z ℰ C, sehingga h : x ⟶ z

ditulis dengan rumus z = h ( x ).

Fungsi h adalah pemetaan langsung dari himpunan A ke himpunan C. Fungsi h seperti ini disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g , ditulis dengan notasi : h = f ○ g atau

h ( x ) = ( f ○ g ) ( x ). © fungsi komposisi dan invers©

Dari uraian fungsi komposisi dan invers diatas , rumus fungsi komposisi f dan g adalah:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Dan rumus fungsi komposisi g dan f adalah:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Agar lebih memahami dan terampil menggunakan rumus fungsi komposisi serta fungsi komposisi dan invers, perhatikan contoh-contoh dibawah ini:

Contoh 1 :

Diketahui f ( x ) = 4 x – 1 dan g ( x ) = x² + 2. Tentukanlah :

(a) ( f ○ g ) ( x )

(b) ( g ○ f ) ( x )

[Penyelesaian]

(a) ( f ○ g ) ( x ) = f ( g(x) ) = f ( x² + 2 ) = 4 ( x² + 2 ) – 1 = 4 x² + 7

(b) ( g ○ f ) ( x ) = g ( f(x) ) = g (4 x – 1 ) = ( 4x – 1 )² + 2 = 16x² – 8 x + 3

Fungsi komposisi dan invers ,Contoh 2 :

Tentukanlah ( f ○ g ○ h ) ( x ) jika diketahui f ( x ) = 3 x – 2 , g ( x ) = 4 – x dan
$h\left ( x \right )=\frac{4-x}{3}$

[Penyelesaian]

Bentuk ( f ○ g ○ h ) ( x ) = ( f ○ g ) ○ h, karena ada tiga fungsi yaitu f , g dan h maka kita tentukan terlebih dahulu ( f ○ g ),

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )\\=f\left ( 4-x \right ) \\ =3\left ( 4-x \right )-2 \\ =-3x+10 \end{matrix}$

Barulah tentukan ( f ○ g ) ○ h, yaitu,

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\circ h\left ( x \right )=\left ( f\circ g \right )\left ( \frac{4-x}{3} \right )\\ =-3\left ( \frac{4-x}{3} \right )+10 \\=x+6 \\ \therefore \left ( f\circ g\circ h \right )\left ( x \right )=x+6 \end{matrix}$

Jadi, ( f ○ g ○ h ) ( x ) = x + 6. © fungsi komposisi dan invers

Fungsi komposisi dan invers - Syarat fungsi komposisi

Berkenaan dengan fungsi komposisi dan invers , tidak semua fungsi dapat di komposisikan ada syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi oleh dua fungsi yang akan dikomposisikan. Perhatikan syarat-syarat fungsi komposisi dibawah ini.

(1) Syarat agar fungsi f dan fungsi g dapat di komposisikan menjadi fungsi komposisi

( f ○ g ) adalah irisan antara domain fungsi f dengan range fungsi g bukan himpunan kosong atau

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

(2) Domain ( f ○ g ) merupakan himpunan bagian dari domain fungsi g, atau

$D_{\left ( f\circ g \right )}\subseteq D_{g}$

(3) Range fungsi komposisi ( f ○ g ) merupakan himpunan bagian dari range fungsi f, atauR

$R_{\left ( f\circ g \right )}\subseteq R_{f}$

Ketiga syarat diatas haruslah benar-benar diperhatikan untuk memahami fungsi komposisi dan invers lebih lanjut.

Contoh 3 :

Diketahui f ( x ) = 2 x – 1 dan g ( x ) = x² - 1, tentukanlah nilai a agar ( g○f○f ) (a) = - 1

[Penyelesaian]

$\left ( g\circ f\circ f \right )=\left ( g\circ f \right )\circ f\left ( x \right )$

Tentukan terlebih dahulu ( g○f )(x) ,

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( g\circ f \right )\left ( x \right )=g\left ( f\left ( x \right ) \right )\\ =g\left ( 2x-1 \right ) \\ =\left ( 2x-1 \right )^{2}-1 \\ =4x^{2}-4x \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( g\circ f \right )\circ f(x))=\left ( g\circ f \right )\left ( 2x-1 \right )\\ =4\left ( 2x-1 \right )^{2}-4\left ( 2x-1 \right ) \\=16x^{2}-24x+8 \\ \Leftrightarrow \left ( g\circ f\circ f \right )\left ( a \right )=-1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 16a^{2}-24a+8=-1\\ \Leftrightarrow 16a^{2}-24a+9=0 \\ \Leftrightarrow \left ( 4a-3 \right )^{2}=0 \\ \therefore a=\frac{3}{4} \end{matrix}$

Fungsi komposisi dan Invers : Menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lain sudah diketahui

Jika fungsi komposisi ( f ○ g ) atau ( g ○ f ) sudah terlebih dahulu diketahui maka fungsi f dan fungsi g dapat ditentukan. Coba perhatikan beberapa contoh soal fungsi komposisi dan invers dibawah ini :

Contoh 4 :

Diketahui ( f ○ g )(x) = x , tentukan nilai g (x) jika,

$f\left ( x \right )=\frac{x-2}{3x+4}$

[Penyelesaian]

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=x\\\Leftrightarrow f\left ( g\left ( x \right ) \right ) =x \\ \Leftrightarrow \frac{g\left ( x \right )-2}{3g\left ( x \right )+4}=x \\ \Leftrightarrow g\left ( x \right )-2=3xg\left ( x \right )+4x \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow g\left ( x \right )-3x\, g\left ( x \right )=4x+2\\\Leftrightarrow g\left ( x \right )\left ( 1-3x \right )=4x+2 \\ \therefore g\left ( x \right )=\frac{4x+2}{1-3x} \end{matrix}$

fungsi komposisi dan invers,

Contoh 5 :

Diketahui g ( x ) = 4x²– 2, tentukan nilai f ( 2x + 1 ) jika ( g ○ f ) (x) = 16x² + 16x + 2

[Penyelesaian]

↔ ( g ○ f ) (x) = 16x² + 16x + 2

↔ g (f(x)) = 16x² + 16x + 2

↔ 4 f²(x) – 2 = 16x² + 16x + 2

↔ f²(x) = 4x² + 4x + 1 = ( 2x + 1 )²

↔ f (x) = 2x + 1

Jadi, f ( 2x + 1 ) = 2 (2x+1) +1 = 4x +3

Soal-soal tentang fungsi komposisi dan invers banyak sekali ragam dan variasinya, tetapi bagaimanapun bentuk variasi soal tersebut dengan tetap berpegang pada prinsip-prinsip dasarnya tentu saja akan menjadi lebih mudah.

Fungsi Komposisi dan Invers -- Sifat sifat fungsi komposisi

Beberapa sifat fungsi komposisi yang penting, yaitu :

(1) ( f ○ g )(x) ≠ ( g ○ f )(x), operasi komposisi pada fungsi tidak berlaku sifat komutatif

(2) ( f ○ (g○h )(x) = ( (f ○ g)○h )(x), operasi komposisi berlaku sifat asosiatif

(3) ( f ○ I )(x) = ( I ○ f )(x) = f ( x ), I (x) adalah unsur identitas.

Selamat berlatih dan semoga anda terampil menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan fungsi komposisi dan invers.

Materi Terkait :

Invers fungsi Komposisi

Terimakasih anda telah membaca artikel tentang Fungsi Komposisi dan Invers. Jika ingin menduplikasi artikel ini diharapkan anda untuk mencantumkan link http://soulmath4u.blogspot.com/2013/11/fungsi-komposisi-dan-invers.html. Terimakasih atas perhatiannya.

Belajar Matematika Online
Published: 2013-11-19T18:54:00-08:00
Title:Fungsi Komposisi dan Invers
Rating: 5 On 22 reviews

4 komentar

Balas

Rizky Ramadhani A

December 3, 2013 at 12:44 PM

terimakasih sangat membantu

Anonymous

March 21, 2014 at 4:18 AM

inversnya ga ada nih bang?

RULLY IRAWAN

March 21, 2014 at 12:32 PM

Ada kok mas, di hal lain blog ini soalnya kalau disatuin kebanyakan ..he..he. nih linknya http://soulmath4u.blogspot.com/2013/11/fungsi-invers-dari-fungsi-komposisi.html

August 21, 2014 at 2:56 AM

baikk

Pengunjung yang baik meninggalkan komentar, saran dan kritik sangat kami harapkan untuk perbaikan blog ini. Terima kasih sudah berkunjung^-^