Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret  Geometri Matematika SMA

Barisan dan deret geometri yang  saya bahas dalam postingan kali ini merupakan kelanjutan materi barisan dan deret aritmatika yang telah saya buat sebelumnya kedua materi ini merupakan materi yang terintegrasi.

Barisan Geometri

Barisan geometri yaitu suatu barisan bilangan dengan pembanding atau pengali (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.Bentuk umum umum dari barisan geometri adalah:

keterangan:

r = rasio =  

a = U₁ = suku pertama

U_n = suku ke-n

n = banyaknya suku

Rumus suku Ke-n Barisan Geometri

Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah:

Rumus Suku Tengah barisan geometri

Jika suatu barisan geometri mempunyai suku yang ganjil maka suku tengahnya dapat ditentukan dengan rumus:

Sisipan Pada Barisan Geometri

Jika antara dua suku yang berurutan pada suatu barisan geometri disisipkan k buah suku lagi, maka kita akan mendapatkan barisan geometri yang baru.

Barisan geometri lama: 

Barisan geometri baru : 

Hubungan rasio dan banyaknya suku pada barisan geometri yang lama dan baru adalah:

Keterangan:

r’ = rasio barisan geometri baru

r = rasio barisan geometri lama

k = banyaknya suku yang di sisipkan

n = jumlah suku barisan geometri lama

n’ = jumlah suku barisan geometri baru

Yang perlu diperhatikan dalam sisipan barisan geometri adalah:

Deret Geometri atau Deret ukur

Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku pada barisan geometri

Maka rumus deret geometri dengan rasio r , adalah:

Barisan deret Geometri – Deret Khusus

a.Deret Bilangan Asli

Deret bilangan asli yaitu : 1 + 2 + 3 + 4 + . . .

Jika suku ke-n adalah U_n dan jumlah dari n suku pertama adalah T_n  maka rumus deret bilangan asli adalah:

b.Deret Kuadrat Bilangan asli

Deret kuadrat bilangan asli adalah:  

Jika Q_n menyatakan jumlah n suku pertama dan U_n  adalah suku ke-n dengan  U_n = n², maka rumus deret kuadrat bilangan asli adalah:

c. Deret Pangkat Tiga (kubik) bilangan Asli

Deret pangkat tiga bilangan asli  yaitu : , Dan rumus jumlah n suku pertama deret pangkat tiga bilangan asli adalah:

Deret geometri Tak Hingga

Secara umum deret geometri tak hingga adalah dan jika | r |<1 Maka jumlah deret geometri tak hingga dirumuskan:

Dengan a adalah suku pertama dan r rasio

Barisan dan Deret Geometri Contoh Soal dan Pembahasan

(1).Tentukanlah suku pertama dari barisan geometri dengan rasio   dan suku ke-8 adalah  

[Penyelesaian]

(2). Diketahui barisan geometri dengan suku-3 = 2 dan suku ke-6 = ¼  tentukanlah rumus suku ke-n barisan tersebut.

[Penyelesaian]

Jika suku pertama a dan rasio r, maka

Dari (2) : (1), diperoleh

Rumus suku ke-n, adalah:

(3). Diketahui tiga buah bilangan real jumlahnya 7 dan hasil kalinya 8, jika ketiga bilangan tersebut membentuk barisan geometri tentukanlah ketiga bilangan tersebut.

[Penyelesaian]

Misalkan rasio r dan tiga bilangan tersebut adalah a, ar , dan ar²  yang merupakan anggota bilangan real, maka

Subtitusikan (2) ke (1), maka diperoleh:

Untuk  maka a = 4 ⇒ substitusikan ke (2)

Untuk  r = 2 maka a = 1 ⇒ substitusikan ke (2)

Karena ketiga bilangan itu adalah a, ar , dan ar² subtitusikan nilai a dan r pada ketiga barisan tersebut.

Jadi ketiga bilangan tersebut adalah: 1, 2, dan 4

(4). Diketahui tiga buah suku dari barisan geometri yaitu 2, 32, 512. Jika diantara setiap dua suku disisipkan 3 buah suku, maka didapat barisan geometri yang baru. Tentukanlah rasio , banyak suku, dan suku ke-8 dari barisan geometri tersebut.

[Penyelesaian]

Barisan geometri lama: 2, 32, 512

Jadi, a = 2 dan r=16, maka
 
Banyaknya suku barisan geometri yang baru adalah:
, 
Suku ke-8 barisan geometri yang baru yaitu:

(5). Diketahui barisan geometri jumlah lima suku pertama adalah 352 dan jumlah 10 suku pertama adalah 341 tentukan rasio dan suku pertamanya.

[Penyelesaian]





Dari (1) : (2), diperoleh:
, 

Subtitusikan   ke (1) maka diperoleh a = 512

(6). Diketahui deret geometri tak hingga  

[Penyelesaian]

Karena rasio   dan | r | < 1, maka deret ini konvergen, maka jumlahnya:

(7). Tentukanlah interval nilai x agar deret geometri tak berhingga x + x(2- x²) + x(2- x²)² + … + x(2- x²) + …  konvergen dan tentukanlah Jumlahnya.

[penyelesaian]
rasio deret diatas adalah:

  

Dan syarat agar deret tersebut konvergen adalah:


Dari (1) dibagi menjadi dua pertidaksamaan yaitu:

Dari (2) dan (3) :
 
Dan jumlahnya adalah:



Mohon kritikan dan saran dibagian komentar jika ada materi atau soal yang salah dalam pembahasan materi barisan dan deret geometri ini. Semoga bermanfaat!

□ Artikel Terkait:

Barisan dan Deret Aritmatika