Perkalian Matriks

Sifat-sifat Operasi  dan Syarat-syarat perkalian matriks matematika

Perkalian matriks terhadap matriks lain serta syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi agar hasil perkalian matriks tersebut terdefinisi, akan dibahas pada materi ini sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi prasyarat tentang dasar-dasar matriks, agar anda lebih mudah mempelajari materi perkalian matriks ini.

Syarat-syarat Perkalian matriks

(a) Hasil perkalian matriks A dan B  dengan ordo  adalah matriks  dimana elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1 merupakan jumlah dari perkalian elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-1 matriks A dan kolom  ke-1 matriks B

Contoh:

Hitunglah perkalian matriks dibawah ini!

Hitunglah A× B

[Penyelesaian]

Sesuai dengan prinsip perkalian matriks , maka

(b). Perkalian matriks   dengan matriks   terdefinisi jika n = p  atau  Jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Dan hasil kali nya adalah matriks 

Pengertian dikalikan dari kiri dan dikalikan dari Kanan dalam Perkalian Matriks

Dalam perkalian dua matriks tidak berlaku sifat komutatif, AB ≠ BA. Dalam aljabar perkalian matriks AB disebut matriks B dikalikan dari kiri oleh matriks A dan perkalian matriks BA disebut matriks B dikalikan dari kanan oleh matriks A.

Perhatikan contoh dibawah ini!

Diketahui dua buah matriks dibawah ini:

Apakah AB = BA?

[Penyelesaian]

Hasil kali AB dan BA seperti dibawah ini,

Dari hasil diatas maka AB ≠ BA.

Pemangkatan Matriks Persegi

Jika A suatu matriks persegi, maka berlaku seperti dibawah ini,

Sifat-sifat Operasi perkalian Matriks

Jika setiap perkalian matriks A dan B terdefinisi, maka selalu berlaku:

1) (AB)C = A(BC) , (sifat asosiatif)

2) A(B + C) = AB + AC, (sifat distributif kiri)

3) (B + C)A= BA + CA , (sifat distributif kanan)

4) k  (AB) = (kA)B= A(kB), k skalar dan k ϵ R

Sifat-sifat Operasi Transpose pada Matriks

Dibawah ini sifat-sifat transpose pada matriks, 

Contoh Soal perkalian matriks dengan matriks

                      

Dibawah ini contoh-contoh soal  dan  penerapan sifat-sifat operasi perkalian matriks

Selesaikan soal-soal dibawah ini!

(1). Diketahui Matriks-matriks dibawah ini, Hitunglah A × B ,

[Penyelesaian]

Sesuai dengan prinsip perkalian matriks, maka

(2). Hitunglah perkalian matriks ordo 2× 2 dibawah ini,

[Penyelesaian]

(3). Hitunglah perkalian matriks 3 × 3 dibawah ini

[Penyelesaian]

Solusi perkalian matriks 3 × 3 diatas adalah,

(4). Hitunglah perkalian matriks beda ordo B dan C berikut ini,

[Penyelesaian]

Matriks  , banyak kolom matriks B sama dengan banyak baris matriks C maka B × C terdefinisi. Hasil perkaliannya adalah,

(5). Hitunglah perkalian tiga matriks A× B× C dibawah ini,

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan sifat asosiatif, A× (BC) 

(6). Diketahui matriks-matriks dibawah ini

Hitunglah AB + AC

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan sifat distributif, AB + AC = A(B + C) maka 

(7). Hitunglah perkalian matriks dengan skalar dibawah ini!

Tentukan -3A dan 2A

[Penyelesaian]

Hasil perkalian matriks dengan skalar diatas adalah,

(8). Diketahui matriks-matriks berikut ini, 

Tentukan perkalian matriks transpose     yaitu     

[Penyelesaian]

Tentukan dahulu A× B, 

Maka   , adalah :

(9). Jika diketahui matriks-matriks dibawah ini,

Maka nilai abc adalah?

[Penyelesaian]

Tentukan dahulu nilai a,b dan c, 

Dari (1),

2a - 3b = - 1 ……(2)

4a + 6b = 10 ……(3)

     c+ 1 = 2  ……(4)

Dengan mengeliminasi persamaan (2) dan persamaan (3)  di peroleh , a = 1 dan b = 1

Dari (4), c =  1

∴ abc = 1

Demikian materi perkalian matriks, semoga bermanfaat jika ada materi, konsep dan contoh soal yang salah mohon kritikannya dibagian komentar.

Materi Terkait:

□Matriks (Jenis-jenis Matriks,  matriks transpose,Penjumlahan dan Pengurangan matriks)

□ Invers matriks