Fungsi Komposisi dan Invers

Fungsi Komposisi dan Invers : Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dan invers – Jika terdapat dua buah  fungsi misalkan f(x) dan g(x) maka dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan prinsip operasi komposisi. Operasi komposisi ditulis dengan notasi atau lambang  ○ ( dibaca : komposisi atau bundaran). 

Fungsi baru yang diperoleh dibentuk dari operasi komposisi fungsi, yaitu:

(i) (f○g)( x ), dibaca : f komposisi g x atau f g x

(ii) (g○f)(x), dibaca : g komposisi f x atau g f x.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diagram panah fungsi komposisi dan invers

Dari gambar diatas fungsi g : A ⟶ B. Tiap x ℰ A dipetakan ke y ℰ B, sehingga g : x ⟶ y ditentukan dengan rumus:   y = g ( x ).

Fungsi f : B ⟶ C. Tiap y ℰ B dipetakan ke z ℰ C, sehingga f : y ⟶ z

ditulis dengan rumus z = f(y).

Fungsi h : A ⟶ C. Tiap x ℰ A dipetakan ke z ℰ C, sehingga h : x ⟶ z

ditulis dengan rumus z = h(x).

Fungsi h adalah pemetaan langsung dari himpunan A ke himpunan C. Fungsi h seperti ini disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g , ditulis dengan notasi :  

h = f○g atau h(x) = (f○g)(x).                                                              

Dari uraian fungsi komposisi dan invers diatas , rumus fungsi komposisi f dan g adalah:

Dan rumus fungsi komposisi g dan f adalah:

Agar lebih memahami dan terampil menggunakan rumus fungsi komposisi serta fungsi komposisi dan invers, perhatikan contoh-contoh dibawah ini:

Contoh 1 :

Diketahui f(x) = 4x –1 dan g(x) = x² +2. Tentukanlah :

(a) (f○g)(x)

(b) (g○f )(x)

(c) (f○g)(-2)

[Penyelesaian]

(a) (f○g)(x) = f(g(x)) = f(x² +2) = 4( x² +2) –1 =4x² +7

(b) (g○f)(x) =g(f(x))=g(4x –1) = (4x –1)² +2 = 16x² –8x +3

(c)  (f○g)(-2) = 4(-2)² +7 = 23

Fungsi komposisi dan invers 

Contoh 2 :

Tentukanlah (f○g○h)(x) jika diketahui f(x) = 3x –2 , g(x) = 4 –x  dan

[Penyelesaian]

Bentuk (f○g○h)(x) = (f○g)○h, karena ada tiga fungsi yaitu f , g dan h maka kita tentukan terlebih dahulu (f○g),

                    

Barulah tentukan (f○g)○h, yaitu,

Jadi, (f○g○h)(x) = x+6                            

Fungsi komposisi dan invers - Syarat fungsi komposisi

Berkenaan dengan fungsi komposisi dan invers , tidak semua fungsi dapat di komposisikan ada syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi oleh dua fungsi yang akan dikomposisikan. Perhatikan syarat-syarat fungsi komposisi dibawah ini.

(1) Syarat agar fungsi f dan fungsi g dapat di komposisikan menjadi fungsi komposisi

(f○g) adalah irisan antara domain fungsi f dengan range fungsi g bukan himpunan kosong atau

(2) Domain (f○g) merupakan himpunan bagian dari domain fungsi g, atau

(3) Range fungsi komposisi (f○g) merupakan himpunan bagian dari range fungsi f, atau R

Ketiga syarat diatas haruslah benar-benar diperhatikan untuk memahami fungsi komposisi dan invers lebih lanjut.

Contoh 3 :

Diketahui f(x) = 2x –1 dan g(x) = x²  -1, tentukanlah nilai  a  agar (g○f○f )(a) = -1

[Penyelesaian]

Tentukan terlebih dahulu (g○f )(x) ,

Menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lain sudah diketahui

Jika fungsi komposisi (f○g) atau (g○f) sudah terlebih dahulu diketahui maka fungsi f dan fungsi g dapat ditentukan. Coba perhatikan beberapa contoh soal fungsi komposisi dan invers dibawah ini :

Contoh 4 :

Diketahui (f○g)(x) = x , tentukan nilai g(x) jika,

[Penyelesaian]

Contoh 5  :

Diketahui g(x) = 4x² –2, tentukan nilai f(2x +1)  jika (g○f )(x) = 16x² +16x +2

[Penyelesaian]

↔ (g○f )(x) = 16x² +16x +2

↔ g(f(x)) = 16x² +16x +2

↔ 4 f²(x) –2 = 16x² +16x +2

↔  f²(x) = 4x² +4x+1 = (2x +1)²

↔ f(x) = 2x +1

Jadi, f (2x+1) = 2(2x+1)+1 = 4x +3

Soal-soal tentang fungsi komposisi dan invers banyak sekali ragam dan variasinya, tetapi bagaimanapun bentuk variasi soal tersebut dengan tetap berpegang pada prinsip-prinsip dasarnya tentu saja akan menjadi lebih mudah.

Sifat sifat fungsi komposisi

Beberapa sifat fungsi komposisi yang penting, yaitu :

(1) (f○g)(x) ≠ (g○f )(x), operasi komposisi pada fungsi tidak berlaku sifat komutatif

(2) (f ○(g○h)(x) = ((f○g)○h )(x), operasi komposisi berlaku sifat asosiatif

(3) (f○I)(x) = (I○f )(x) = f(x), I(x) adalah unsur identitas.

Selamat berlatih dan semoga anda terampil menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan fungsi komposisi dan invers.

Materi Terkait :

Invers fungsi Komposisi